paiza プログラミング

[Ruby]paiza リアルイベント問題セット 本の整理 (paizaランク A 相当)

今回はpaiza リアルイベント問題セット 「本の整理」 (paizaランク A 相当)を解説します。

順番がバラバラになっている本を指示されたルールに従って並び替えた時の入れ替え回数を答える問題です。

本の整理 (paizaランク A 相当)

※ paiza リアルイベント問題セット より

問題

あなたはパイザ図書館で働く図書館員です。

パイザ図書館には N 冊の蔵書があります。この蔵書はすべて 1 段からなる本棚で管理されています。そして、それぞれの本には 1 から N までの相異なる整数の ID がついています。本棚の本は ID 順に並んでいます。

しかし、ある日、あなたが蔵書の点検をしていると、本棚の本がバラバラに並べられていることに気づきました。

そこで、あなたは、次のルールに従って本を並び替えることにしました。

次の手順を N 回繰り返す。

1. i (1 ≦ i ≦ N) 回目の手順では、まず本棚の左から i 番目の位置に立つ。
2. 左から i 番目の位置にある本から、本棚の右端にある本までのうち、最も ID が小さい本の位置を歩きながら見つける。この位置を j とする。
3. i = j なら、何もしない。 i ≠ j なら、i 番目の本と j 番目の本を入れ替える。

本を取り出して入れ替えるのには時間がかかります。そこで、このルールに従って本を整理するときに、何回本を入れ替える必要があるのかを計算してください。

例)

5 冊の本が、本棚に次の順番で並んでいたとします。ただし、数字はそれぞれの本の ID を表します。

5 4 3 2 1

このとき、ルールに従うと、次のように本が整理されます。

i = 1 のとき (1 番目の本と 5 番目の本の位置が入れ替わる)

1 4 3 2 5

i = 2 のとき (2 番目の本と 4 番目の本の位置が入れ替わる)

1 2 3 4 5

i = 3 のとき

1 2 3 4 5

i = 4 のとき

1 2 3 4 5

i = 5 のとき

1 2 3 4 5

本の交換は i = 1 のときと i = 2 のときのみ起こっているので、このときの出力は 2 となります。

入力される値

入力は以下のフォーマットで与えられます。

N
a_1 a_2 ... a_N

  • 1 行目に本の冊数を表す整数 N が与えられます。
  • 2 行目に、 1 番目の本の ID を表す整数 a_1、 2 番目の本の ID を表す整数 a_2、 ...、 N 番目の本の ID を表す整数 a_N がこの順に半角スペース区切りで与えられます。
  • 入力は合計で 2 行となり、末尾に改行が 1 つ入ります。

入力値最終行の末尾に改行が１つ入ります。

期待する出力

本の交換をする回数を整数で出力してください。

条件

すべてのテストケースにおいて、以下の条件をみたします。

  • 1 ≦ N ≦ 100,000
  • 1 ≦ a_i ≦ N (1 ≦ i ≦ N)
  • 各 j, k (1 ≦ j, k ≦ N) について j ≠ k のとき a_j ≠ a_k
入力例1
5
5 4 3 2 1
出力例1
2
入力例2
10
8 7 9 1 5 6 2 10 4 3
出力例2
6
攻略ポイント

ポイント

  • 問題文の条件から、効率よく該当IDの本を検索する方法を考える
    • 本の数 = 棚の数 = N （空になる棚はない）
    • 本のIDは 1 ～ N の連番
    • 1 ≦ N ≦ 100,000
問題を解く流れ

入出力例をコピペしてヒアドキュメントで変数に代入し、データを確認します。正しく受け取れていれば確認用コードは削除します。

INPUT1 = <<~"EOS"
  5
  5 4 3 2 1
EOS
OUTPUT1 = <<~"EOS"
  2
EOS

INPUT2 = <<~"EOS"
  10
  8 7 9 1 5 6 2 10 4 3
EOS
OUTPUT2 = <<~"EOS"
  6
EOS

# 確認用コード
p INPUT1
# > "5\n5 4 3 2 1\n"
p OUTPUT1
# > "2\n"
p INPUT2
# > "10\n8 7 9 1 5 6 2 10 4 3\n"
p OUTPUT2
# > "6\n"
よくある失敗実装

せっかく罠がある問題なので、やりがちな失敗をしてみたいと思います。
失敗実装をsolve1メソッドとし、変数の下に定義します。

solve1 処理の流れ

  • 入力データ受け取り
    • 棚の数=本の数 : 整数n
    • 棚に入っている本のID: 整数の配列a
  • 交換回数count = 0 で初期化する
  • 配列a[i] (0 ≦ i ≦ n-2)の順番で整数a[i](本のID)を取り出す
    • s_id = i + 1
      ※ s_id: i番目の棚に収めるべき本のID
    • a[i] == s_id なら i のループをスキップ(next)する
    • a[j] (i+1 ≦ j ≦ n-1)の順番で整数a[j](本のID)を取り出す
      • a[j] == s_id なら
        • 棚a[i]にある本のIDと 棚a[j] にある本のIDを入れ替える
        • 交換回数count を +1 する
        • j のループを抜ける(break)
  • 交換回数count を出力する

以上を実装すると、例えばINPUT2 の処理は下図のようになります。

INPUT2の処理の流れ

では、以上の処理をsolve1メソッドに書いていきます。（今回は動作確認用コードも入れます）

def solve1(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  # 【確認用コード ここから】
  search = 0
  # 【確認用コード ここまで】

  count = 0
  # 棚の左端から右に向かって調査していく
  0.upto(n - 2) do |i|

    # 【確認用コード ここから】
    search += 1
    p a
    # 【確認用コード ここまで】

    # index: i の棚には 本ID: i + 1 の本を置く
    s_id = i + 1
    # 調査中の棚にある本のIDが正しければ次の棚を調べる
    next if a[i] == s_id

    # 調査中の棚より右側から index: i の棚に置く本を探す
    (i + 1).upto(n - 1) do |j|

      #【確認用コード ここから】
      search += 1
      #【確認用コード ここまで】

      # index: i に置く本 a[j] を発見したとき
      if a[j] == s_id
        # a[i] にある本と a[j] にある本を入れ替え
        a[i], a[j] = a[j], a[i]
        # カウントアップして j のループを抜ける
        count += 1
        break
      end
    end
  end

  # 【確認用コード ここから】
  p a
  puts "search: #{search}"
  # 【確認用コード ここまで】

  count
end

# 確認用コード
p solve1(INPUT1)
# > [5, 4, 3, 2, 1]
# > [1, 4, 3, 2, 5]
# > [1, 2, 3, 4, 5]
# > [1, 2, 3, 4, 5]
# > [1, 2, 3, 4, 5]
# > search: 10
# > 2

p solve1(INPUT2)
# > [8, 7, 9, 1, 5, 6, 2, 10, 4, 3]
# > [1, 7, 9, 8, 5, 6, 2, 10, 4, 3]
# > [1, 2, 9, 8, 5, 6, 7, 10, 4, 3]
# > [1, 2, 3, 8, 5, 6, 7, 10, 4, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 8, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 8, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 8, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 8, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9]
# > [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
# > search: 31
# > 6

正しく計算出来ているようなので、確認用コードを削除し、標準入力からのデータ入力、交換回数countを出力するようにコードを変更して提出してみます。

solve1 提出コード

def solve1(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  count = 0
  # 棚の左端から右に向かって調査していく
  0.upto(n - 2) do |i|

    # index: i の棚には 本ID: i + 1 の本を置く
    s_id = i + 1
    # 調査中の棚にある本が正しければ次の棚を調べる
    next if a[i] == s_id

    # 調査中の棚より右側から index: i に置く本を探す
    (i + 1).upto(n - 1) do |j|

      # index: i に置く本 a[j] を発見したとき
      if a[j] == s_id
        # a[i] にある本と a[j] にある本を入れ替え
        a[i], a[j] = a[j], a[i]
        # カウントアップして j のループを抜ける
        count += 1
        break
      end
    end
  end
  count
end

puts solve1(STDIN.read)

提出結果

最後のテスト10が通らず・・・残念！

ということで、solve1メソッドでテスト10が通らなかった原因を確認してみましょう。
INPUT1(n = 5, a = [5, 4, 3, 2, 1])のようなカウントダウンの数列の桁を増やしながら入力データとして与えて、処理時間を測ってみます。

def solve1(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  count = 0
  # 棚の左端から右に向かって調査していく
  0.upto(n - 2) do |i|
    # index: i の棚には 本ID: i + 1 の本を置く
    s_id = i + 1

    # 調査中の棚にある本が正しければ次の棚を調べる
    next if a[i] == s_id

    # 調査中の棚より右側から index: i に置く本を探す
    (i + 1).upto(n - 1) do |j|
      # index: i に置く本 a[j] を発見したとき
      if a[j] == s_id
        # a[i] にある本と a[j] にある本を入れ替え
        a[i], a[j] = a[j], a[i]
        # カウントアップして j のループを抜ける
        count += 1
        break
      end
    end
  end
  count
end

# 配列サイズが大きいときの処理時間
[5, 10, 100, 1_000, 10_000, 100_000].each do |n|
  input = ([n] + n.downto(1).to_a).join(" ")

  start = Time.now
  puts "n = #{n.to_s.rjust(6)}"
  puts "交換回数 #{solve1(input).to_s.rjust(5)} 処理時間: #{Time.now - start}"
  puts "---"
end

# > n =      5
# > 交換回数     2 処理時間: 7.91e-05
# > ---
# > n =     10
# > 交換回数     5 処理時間: 2.67e-05
# > ---
# > n =    100
# > 交換回数    50 処理時間: 0.0002558
# > ---
# > n =   1000
# > 交換回数   500 処理時間: 0.0195869
# > ---
# > n =  10000
# > 交換回数  5000 処理時間: 1.892705
# > ---
# > n = 100000
# > 交換回数 50000 処理時間: 190.5272883
# > ---

データ数nと処理時間の関係を見てみると、 nの桁が1個増えるごとに処理時間の桁が2個増えていることが分かります。
最後の n = 100,000 の時は処理時間に190秒かかっていますが、判定は16秒で打ち切られるのでタイムオーバーが発生してしまうというわけですね。

本の場所を1発で検索する

失敗した実装では、調査対象の棚を調べてそこから右に順番に探索していましたが、本のIDは 1〜n までの重複なしであることから、本の位置を保持する配列を用意することで、ループなしで任意の本の位置を取得することが出来ます。

solve2 処理の流れ

  • 入力データ受け取り
    • 棚の数=本の数 : 整数n
    • 棚に入っている本のID: 整数の配列a
  • 要素数n の 配列b を用意する。
  • b[a[i] - 1] に インデックスi を格納する。
    ※ 本ID: i の場所を取得するには b[i - 1] を参照する
  • 交換回数count = 0 で初期化する
  • 配列a[i] (0 ≦ i ≦ n-2)の順番で整数a[i](本のID)を取り出す
    • s_id = i + 1
      ※ s_id: i番目の棚に収めるべき本のID
    • a[i] == s_id なら i のループをスキップ(next) する
    • tmp_p = b[i]
      ※ 現在の棚に置くべき本がある場所を格納
    • tmp_i = a[i] - 1
      ※ 現在の棚に置かれている本の位置情報を格納する配列bのindexを格納
    • a[i] と a[tmp_p] を入れ替える（本のID情報）
    • b[i] と b[tmp_i] を入れ替える（本の位置情報）
    • 交換回数count を +1 する
  • 交換回数count を出力する

文字で説明しても分かりづらいですね。
今回もINPUT2 の処理を図にしてみました。

では、以上の処理をsolve2メソッドに書いていきます。
今回はINPUT1, INPUT2, n = [5, 100, 1000, 10000, 100000] まで一気に確認します。

def solve2(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  # b[index(本ID - 1)] に 現在位置を格納
  b = Array.new(n)
  a.each_with_index { |ai, i| b[ai - 1] = i }

  count = 0
  # 棚の左端から右に向かって調査していく
  a.each_with_index do |ai, i|
    # ai: 現在の本ID, i+1: 入るべき本ID
    # 調査中の棚にある本が正しければ次の棚を調べる
    next if ai == i + 1

    # tmp_p: 正しい本がある場所
    tmp_p = b[i]
    # tmp_i: 調査中の棚に置かれている本のindex
    tmp_i = a[i] - 1

    # 本の情報を入れ替える
    a[i], a[tmp_p] = a[tmp_p], a[i]
    b[i], b[tmp_i] = b[tmp_i], b[i]

    count += 1
  end
  count
end

# 確認用コード
p solve2(INPUT1)
# > 2
p solve2(INPUT2)
# > 6

# 配列サイズが大きいときの処理時間
[5, 10, 100, 1_000, 10_000, 100_000].each do |n|
  input = ([n] + n.downto(1).to_a).join(" ")

  start = Time.now
  puts "n = #{n.to_s.rjust(6)}"
  puts "交換回数 #{solve2(input).to_s.rjust(5)} 処理時間: #{Time.now - start}"
  puts "---"
end
# > n =      5
# > 交換回数     2 処理時間: 1.4e-05
# > ---
# > n =     10
# > 交換回数     5 処理時間: 2.2e-05
# > ---
# > n =    100
# > 交換回数    50 処理時間: 6.7e-05
# > ---
# > n =   1000
# > 交換回数   500 処理時間: 0.001765
# > ---
# > n =  10000
# > 交換回数  5000 処理時間: 0.007277
# > ---
# > n = 100000
# > 交換回数 50000 処理時間: 0.062295
# > ---

n = 100,000 でも 0.06秒で解けているので問題なさそうです！

確認用コードを標準入力からのデータ受け取りに変更、標準出力をpメソッドからputsメソッドに変更して、動作確認をしたら提出します。（STDIN.readの入力終了は Ctrl+D 又は Ctrl+Z)

解答コード
def solve2(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  # b[index(本ID - 1)] に 現在位置を格納
  b = Array.new(n)
  a.each_with_index { |ai, i| b[ai - 1] = i }

  count = 0
  # 棚の左端から右に向かって調査していく
  a.each_with_index do |ai, i|
    # ai: 現在の本ID, i+1: 入るべき本ID
    # 調査中の棚にある本が正しければ次の棚を調べる
    next if ai == i + 1

    # tmp_p: 正しい本がある場所
    tmp_p = b[i]
    # tmp_i: 調査中の棚に置かれている本のindex
    tmp_i = a[i] - 1

    # 本の情報を入れ替える
    a[i], a[tmp_p] = a[tmp_p], a[i]
    b[i], b[tmp_i] = b[tmp_i], b[i]

    count += 1
  end

  # 交換回数 count を文字列に変換し末尾に改行を追加
  count.to_s << "\n"
end

puts solve2(STDIN.read)
他の解答例

ハッシュを使って解くこともできます。

def solve3(input_lines)
  n, *a = input_lines.split.map(&:to_i)

  # key: 本のID-1, value: 今ある場所
  b = a.each_with_index.to_h

  count = 0
  # 棚の左端から s_id: 1 ~ s_id: n として
  # s_id と 本ID が揃うように並べ替える
  0.upto(n - 1) do |i|
    # s_id: 棚ID
    s_id = i + 1

    # 調査中の棚にある本が正しければ次の棚を調べる
    next if a[i] == s_id

    # tmp_p: 正しい本がある場所
    tmp_p = b[s_id]
    # tmp_i: 調査中の棚に置かれている本のID
    tmp_i = a[i]

    # 本の情報を入れ替える
    a[i], a[tmp_p] = a[tmp_p], a[i]
    b[s_id], b[tmp_i] = b[tmp_i], b[s_id]
    count += 1
  end
  count.to_s << "\n"
end

puts solve3(STDIN.read)

今回のまとめ

多重ループで考えると分かりやすい問題もありますが、要素数が増えると計算量が一気に増加しますので注意しましょう！

paiza Aランク問題あたりからは答えが合っていても（工夫なしの）多重ループで実装すると時間切れになるケースも出てきます。
問題の条件を確認して、超ざっくりで良いので計算量をつかんでおきましょう。


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