[Ruby|Python]paiza 累積和メニュー5 【二次元累積和】

2023-10-24

今回はpaiza 累積和メニューセクショ5【二次元累積和】を解説します。

整数の要素をもつ、h行 w列の二次元配列aの、左上の要素をa[sy][sx], 右下の要素をa[gy][gx]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

本記事で使用しているアルゴリズムやメソッドについて
累積和メニュー5：【二次元累積和】
今回のまとめ

本記事で使用しているアルゴリズムやメソッドについて

解答例で使っているアルゴリズムやメソッドについて、記の記事で詳しく解説していますので参考にしてみて下さい。

累積和メニュー5：【二次元累積和】

5-STEP1: 二次元累積和 1 (paizaランク C 相当)

整数の要素をもつ、5行 5列の二次元配列aの、左上の要素をa[1][1], 右下の要素をa[3][3]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

※ STEP1～STEP7(BOSS2) まで問題がありますが、最初から最後までほぼ同じ解答コードが続きます💦

Ruby解答例

5行5列の二次元配列a の 累積和s を求め、左上がa[1][1], 右上がa[3][3]の長方形の区間和を s[4][4] - s[1][4]-s[4][1] + s[1][1] で求めます。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = [
  [1, 2, 3, 4, 5],
  [2, 3, 4, 5, 6],
  [3, 4, 5, 6, 7],
  [4, 5, 6, 7, 8],
  [5, 6, 7, 8, 9],
]

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例

5行5列の二次元配列a の 累積和s を求め、左上がa[1][1], 右上がa[3][3]の長方形の区間和を s[4][4] - s[1][4]-s[4][1] + s[1][1] で求めます。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = [
    [1, 2, 3, 4, 5],
    [2, 3, 4, 5, 6],
    [3, 4, 5, 6, 7],
    [4, 5, 6, 7, 8],
    [5, 6, 7, 8, 9],
]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP2: 二次元累積和 2 (paizaランク C 相当)

整数の要素をもつ、5行 5列の二次元配列aの要素が5行で与えられ、左上の要素をa[1][1], 右下の要素をa[3][3]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

入出力例

INPUT1の例
左上がa[1][1], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[3, 4, 5], [4, 5, 6], [5, 6, 7]] なので区間和 45 を出力する

INPUT1 = <<"EOS"
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
EOS
OUTPUT1 = <<"EOS"
45
EOS

Ruby解答例1

入力を gets で受け取ります。あとはSTEP1-Ruby解答例と同じです。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = []
h.times { a << gets.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Ruby解答例2

入力を $stdin.read で受け取ります。あとはSTEP1-Ruby解答例と同じです。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = $stdin.read.split("\n").map { |l| l.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例1

入力を input() で受け取ります。あとはSTEP1-Python解答例と同じです。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = []
for _ in range(h):
    a.append(list(map(int, input().split())))

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

Python解答例2

入力を open(0).read() で受け取ります。あとはSTEP1-Python解答例と同じです。

# 入力
sy, sx = 1, 1
gy, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
a = [list(map(int, l.split())) for l in open(0).read().rstrip().split("\n")]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP3: 二次元累積和 3 (paizaランク C 相当)

1行目で sy, gy (問題文では a, b となっていますが sy, gy とします) 、続く5行で整数の要素をもつ、5行 5列の二次元配列aの要素が与えられ、左上の要素をa[sy][3], 右下の要素をa[gy][3]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

与えられる条件は以下の通りです。

0 ≦ sy ≦ gy ≦ 4
1 ≦ a_{i, j} ≦ 100 (0 ≦ i ≦ 4, 0 ≦ j ≦ 4)

入出力例

INPUT1の例
左上がa[1][3], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[5], [6], [7]] なので区間和 18 を出力する

INPUT2の例
左上がa[1][3], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[1], [3], [8]] なので区間和 12 を出力する

INPUT1 = <<"EOS"
1 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
EOS
OUTPUT1 = <<"EOS"
18
EOS

INPUT2 = <<"EOS"
1 3
8 1 3 8 1
1 3 8 1 3
3 8 1 3 8
8 1 3 8 1
1 3 8 1 3
EOS
OUTPUT2 = <<"EOS"
12
EOS

Ruby解答例1

入力を gets で受け取ります。あとはSTEP2-Ruby解答例1と同じです。

# 入力
sx, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
sy, gy = gets.split.map(&:to_i)
a = []
h.times { a << gets.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Ruby解答例2

入力を $stdin.read で受け取ります。あとはSTEP2-Ruby解答例2と同じです。

# 入力
sx, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
input_lines = $stdin.read.split("\n")
sy, gy = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
a = input_lines.map { |l| l.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例1

入力を input() で受け取ります。あとはSTEP2-Python解答例1と同じです。

# 入力
sx, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
sy, gy = map(int, input().split())
a = []
for _ in range(h):
    a.append(list(map(int, input().split())))

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

Python解答例2

入力を open(0).read() で受け取ります。あとはSTEP2-Python解答例2と同じです。

# 入力
sx, gx = 3, 3
h, w = 5, 5
input_lines = open(0).read().rstrip().split("\n")
sy, gy = map(int, input_lines[0].split())
a = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[1:]]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP4: 二次元累積和 4 (paizaランク C 相当)

1行目で sy, sx, gy, gx (問題文では a, b, c, d となっていますが sy, sx, gy, gx とします) 、続く5行で整数の要素をもつ、5行 5列の二次元配列aの要素が与えられ、左上の要素をa[sy][sx], 右下の要素をa[gy][gx]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

与えられる条件は以下の通りです。

0 ≦ sy ≦ gy ≦ 4
0 ≦ sx ≦ gx ≦ 4
1 ≦ a_{i, j} ≦ 100 (0 ≦ i ≦ 4, 0 ≦ j ≦ 4)

入出力例

INPUT1の例
左上がa[1][1], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[3, 4, 5], [4, 5, 6], [5, 6, 7]] なので区間和 48 を出力する

INPUT2の例
左上がa[0][0], 右下がa[4][4] の長方形の要素は、[[8, 1, 3, 8, 1], [1, 3, 8, 1, 3], [3, 8, 1, 3, 8], [8, 1, 3, 8, 1], [1, 3, 8, 1, 3]] なので区間和 97 を出力する

INPUT1 = <<"EOS"
1 1 3 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
EOS
OUTPUT1 = <<"EOS"
45
EOS

INPUT2 = <<"EOS"
0 0 4 4
8 1 3 8 1
1 3 8 1 3
3 8 1 3 8
8 1 3 8 1
1 3 8 1 3
EOS
OUTPUT2 = <<"EOS"
97
EOS

Ruby解答例1

入力を gets で受け取ります。あとはSTEP3-Ruby解答例1と同じです。

# 入力
h, w = 5, 5
sy, sx, gy, gx = gets.split.map(&:to_i)
a = []
h.times { a << gets.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Ruby解答例2

入力を $stdin.read で受け取ります。あとはSTEP3-Ruby解答例2と同じです。

# 入力
h, w = 5, 5
input_lines = $stdin.read.split("\n")
sy, sx, gy, gx = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
a = input_lines.map { |l| l.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例1

入力を input() で受け取ります。あとはSTEP3-Python解答例1と同じです。

# 入力
h, w = 5, 5
sy, sx, gy, gx = map(int, input().split())
a = []
for _ in range(h):
    a.append(list(map(int, input().split())))

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

Python解答例2

入力を open(0).read() で受け取ります。あとはSTEP3-Python解答例2と同じです。

# 入力
h, w = 5, 5
input_lines = open(0).read().rstrip().split("\n")
sy, sx, gy, gx = map(int, input_lines[0].split())
a = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[1:]]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP5: 二次元累積和 5 (paizaランク C 相当)

1行目で整数n、2行目で sy, sx, gy, gx (問題文では a, b, c, d となっていますが sy, sx, gy, gx とします) 、続くn行で整数の要素をもつ、n行 n列の二次元配列aの要素が与えられ、左上の要素をa[sy][sx], 右下の要素をa[gy][gx]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

与えられる条件は以下の通りです。

2 ≦ n ≦ 10
0 ≦ sy ≦ gy ≦ n - 1
0 ≦ sx ≦ gx ≦ n - 1
1 ≦ a_{i, j} ≦ 100 (0 ≦ i ≦ 4, 0 ≦ j ≦ 4)

入出力例

INPUT1の例
左上がa[1][1], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[3, 4, 5], [4, 5, 6], [5, 6, 7]] なので区間和 45 を出力する

INPUT2の例
左上がa[0][0], 右下がa[5][5] の長方形の要素は、
[[8, 1, 3, 8, 1, 3],[1, 3, 8, 1, 3, 8], [3, 8, 1, 3, 8, 1], [8, 1, 3, 8, 1, 3], [1, 3, 8, 1, 3, 8], [3, 8, 1, 3, 8, 1]] なので区間和 144 を出力する

INPUT1 = <<"EOS"
5
1 1 3 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
EOS
OUTPUT1 = <<"EOS"
45
EOS

INPUT2 = <<"EOS"
6
0 0 5 5
8 1 3 8 1 3
1 3 8 1 3 8
3 8 1 3 8 1
8 1 3 8 1 3
1 3 8 1 3 8
3 8 1 3 8 1
EOS
OUTPUT2 = <<"EOS"
144
EOS

Ruby解答例1

入力を gets で受け取ります。あとはSTEP4-Ruby解答例1と同じです。

# 入力
h = w = gets.to_i
sy, sx, gy, gx = gets.split.map(&:to_i)
a = []
h.times { a << gets.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Ruby解答例2

入力を $stdin.read で受け取ります。あとはSTEP4-Ruby解答例2と同じです。

# 入力
input_lines = $stdin.read.split("\n")
h = w = input_lines.shift.to_i
sy, sx, gy, gx = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
a = input_lines.map { |l| l.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例1

入力を input() で受け取ります。あとはSTEP4-Python解答例1と同じです。

# 入力
h = w = int(input())
sy, sx, gy, gx = map(int, input().split())
a = []
for _ in range(h):
    a.append(list(map(int, input().split())))

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

Python解答例2

入力を open(0).read() で受け取ります。あとはSTEP4-Python解答例2と同じです。

# 入力
input_lines = open(0).read().rstrip().split("\n")
h = w = int(input_lines[0])
sy, sx, gy, gx = map(int, input_lines[1].split())
a = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[2:]]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP6: 【二次元累積和】二次元累積和 6 (paizaランク C 相当)

1行目で整数h, w(問題文では n, m となっていますが h, w とします)、2行目で sy, sx, gy, gx (問題文では a, b, c, d となっていますが sy, sx, gy, gx とします) 、続くn行で整数の要素をもつ、h行 w列の二次元配列aの要素が与えられ、左上の要素をa[sy][sx], 右下の要素をa[gy][gx]としたときに出来る長方形の区間和を出力する問題です。

与えられる条件は以下の通りです。

2 ≦ h, w ≦ 10
0 ≦ sy ≦ gy ≦ h - 1
0 ≦ sx ≦ gx ≦ w - 1
1 ≦ a_{i, j} ≦ 100 (0 ≦ i ≦ 4, 0 ≦ j ≦ 4)

入出力例

INPUT1の例
左上がa[1][1], 右下がa[3][3] の長方形の要素は、[[3, 4, 5], [4, 5, 6], [5, 6, 7]] なので区間和 45 を出力する

INPUT2の例
左上がa[0][0], 右下がa[7][2] の長方形の要素は、
[[8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8]] なので区間和 96 を出力する

INPUT1 = """\
5 5
1 1 3 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
"""
OUTPUT1 = """\
45
"""

INPUT2 = """\
8 3
0 0 7 2
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
"""
OUTPUT2 = """\
96
"""

Ruby解答例1

入力を gets で受け取ります。あとはSTEP5-Ruby解答例1と同じです。

# 入力
h, w = gets.split.map(&:to_i)
sy, sx, gy, gx = gets.split.map(&:to_i)
a = []
h.times { a << gets.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Ruby解答例2

入力を $stdin.read で受け取ります。あとはSTEP5-Ruby解答例2と同じです。

# 入力
input_lines = $stdin.read.split("\n")
h, w = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
sy, sx, gy, gx = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
a = input_lines.map { |l| l.split.map(&:to_i) }

# 累積和
s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
(0...h).each do |y|
  (0...w).each do |x|
    s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
  end
end

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
puts section_sum

Python解答例1

入力を input() で受け取ります。あとはSTEP5-Python解答例1と同じです。

# 入力
h, w = map(int, input().split())
sy, sx, gy, gx = map(int, input().split())
a = []
for _ in range(h):
    a.append(list(map(int, input().split())))

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

Python解答例2

入力を open(0).read() で受け取ります。あとはSTEP5-Python解答例2と同じです。

# 入力
input_lines = open(0).read().rstrip().split("\n")
h, w = map(int, input_lines[0].split())
sy, sx, gy, gx = map(int, input_lines[1].split())
a = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[2:]]

# 累積和
s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
for y in range(h):
    for x in range(w):
        s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

# 長方形の区間和を出力
section_sum = s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
print(section_sum)

5-STEP7: 【二次元累積和】二次元累積和 7 (paizaランク C 相当)

問題

1 行目に整数 N, M, Q が与えられます。

2 行目以降に N 行 M 列の整数の二次元配列 A が与えられます。

2 + N 行目以降に Q 行に渡って整数 a_i, b_i, c_i, d_i (0 ≦ i ≦ Q - 1) が与えられます。

A の j 行目 k 列目を A_{j, k} (0 ≦ j ≦ N - 1, 0 ≦ k ≦ M - 1) と表すことにします。

i 番目の長方形領域の左上の要素を A_{a_i, b_i}, 右下の要素を A_{c_i, d_i} としたとき、これら Q 個の長方形領域内の整数の和を累積和を用いて求め、改行区切りで出力してください。

入力される値

1 行目に整数 N, M, Q が与えられます。
2 行目以降に N 行 M 列の整数の二次元配列 A が与えられます。
2 + N 行目以降に Q 行に渡って整数 a_i, b_i, c_i, d_i (0 ≦ i ≦ Q - 1) が与えられます。

N M Q
A_{0, 0} A_{0, 1} ... A_{0, M - 1}
A_{1, 0} A_{1, 1} ... A_{1, M - 1}
...
A_{N - 1, 0} A_{N - 1, 1} ... A_{N - 1, M - 1}
a_0 b_0 c_0 d_0
a_1 b_1 c_1 d_1
...
a_{Q - 1} b_{Q - 1} c_{Q - 1} d_{Q - 1}

入力値最終行の末尾に改行が１つ入ります。

期待する出力

末尾に改行を入れ、余計な文字、空行を含んではいけません。

条件

すべてのテストケースにおいて、以下の条件をみたします。

1 ≦ N, M, Q ≦ 10
1 ≦ A_{i, j} ≦ 100 (0 ≦ i ≦ N - 1, 0 ≦ j ≦ M - 1)
0 ≦ a_i ≦ c_i ≦ N - 1 (0 ≦ i ≦ Q - 1)
0 ≦ b_i ≦ d_i ≦ M - 1 (0 ≦ i ≦ Q - 1)

入力例1: 5 5 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
1 1 3 3
2 2 4 4
0 0 2 2

出力例1: 45
63
27

入力例2: 8 3 1
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
0 0 7 2

出力例2: 96

攻略ポイント

ポイント

累積和

[アルゴリズム(Ruby)]累積和

メソッドの定義と呼び出し

[Ruby]メソッドの定義と呼び出し

Ruby 問題を解く流れ

入出力例をコピペしてヒアドキュメントで変数に代入し、データを確認します。正しく受け取れていれば確認用コードは削除します。

INPUT1 = <<"EOS"
5 5 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
1 1 3 3
2 2 4 4
0 0 2 2
EOS
OUTPUT1 = <<"EOS"
45
63
27
EOS

INPUT2 = <<"EOS"
8 3 1
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
0 0 7 2
EOS
OUTPUT2 = <<"EOS"
96
EOS

# 確認用コード
p INPUT1
p OUTPUT1
p INPUT2
p OUTPUT2
# 実行結果
# > "5 5 3\n1 2 3 4 5\n2 3 4 5 6\n3 4 5 6 7\n4 5 6 7 8\n5 6 7 8 9\n1 1 3 3\n2 2 4 4\n0 0 2 2\n"
# > "45\n63\n27\n"
# > "8 3 1\n8 1 3\n1 3 8\n3 1 8\n8 1 3\n1 3 8\n3 1 8\n8 1 3\n1 3 8\n0 0 7 2\n"
# > "96\n"

続いて問題を解くメソッド（ solve メソッドとします）を変数の下に定義します。

まず、入力データを受け取る処理を書きます。

def solve(input_str)
  # 入力
  input_lines = input_str.split("\n")
  h, w, q = input_lines[0].split.map(&:to_i)
  a = []
  input_lines[1..h].each { |l| a << l.split.map(&:to_i) }
  rects = []
  input_lines[(h + 1)..].each { |l| rects << l.split.map(&:to_i) }

  # 確認用コード
  [h, w, q, a, rects]
end

# 確認用コード
p solve(INPUT1)
p solve(INPUT2)
# 実行結果
# > [5, 5, 3, [[1, 2, 3, 4, 5], [2, 3, 4, 5, 6], [3, 4, 5, 6, 7], [4, 5, 6, 7, 8], [5, 6, 7, 8, 9]], [[1, 1, 3, 3], [2, 2, 4, 4], [0, 0, 2, 2]]]
# > [8, 3, 1, [[8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8]], [[0, 0, 7, 2]]]

データが正しく受け取れていれば、問題を解く処理を書いていきます。

二次元配列aの累積和sを求め、rects に格納されている sy, sx, gy, gx の情報から区間和を計算し、配列 results に格納します。

最後に、格納された区間和を改行で連結して返します。

def solve(input_str)
  # 入力
  input_lines = input_str.split("\n")
  h, w, q = input_lines[0].split.map(&:to_i)
  a = []
  input_lines[1..h].each { |l| a << l.split.map(&:to_i) }
  rects = []
  input_lines[(h + 1)..].each { |l| rects << l.split.map(&:to_i) }

  # 累積和
  s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
  (0...h).each do |y|
    (0...w).each do |x|
      s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
    end
  end

  # 長方形の区間和
  results = []
  rects.each do |sy, sx, gy, gx|
    results << s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
  end

  # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
  results.join("\n")
end

# 確認用コード
p solve(INPUT1)
p solve(INPUT2)
# 実行結果
# > "45\n63\n27"
# > "96"

INPUT1、INPUT2共に正しく計算出来ていますので、sovleメソッド呼び出し部分を提出用に書き換え、手入力で最終確認を行います。

Ruby 解答コード

def solve(input_str)
  # 入力
  input_lines = input_str.split("\n")
  h, w, q = input_lines[0].split.map(&:to_i)
  a = []
  input_lines[1..h].each { |l| a << l.split.map(&:to_i) }
  rects = []
  input_lines[(h + 1)..].each { |l| rects << l.split.map(&:to_i) }

  # 累積和
  s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
  (0...h).each do |y|
    (0...w).each do |x|
      s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
    end
  end

  # 長方形の区間和
  results = []
  rects.each do |sy, sx, gy, gx|
    results << s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx]
  end

  # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
  results.join("\n")
end

puts solve($stdin.read)

Ruby 他の解答例

STEP1～6の解答例2に倣った書き方です。
また、Rubyのリストはキュー(Queue)のように使うことが出来るので入力文字列を改行で分割した input_lines から shift メソッドで任意の行数を取り出すことが出来ます。

def solve(input_str)
  # 入力
  input_lines = input_str.split("\n")
  h, w, q = input_lines.shift.split.map(&:to_i)
  a = input_lines.shift(h).map { |l| l.split.map(&:to_i) }
  rects = input_lines.shift(q).map { |l| l.split.map(&:to_i) }

  # 累積和
  s = Array.new(h + 1) { Array.new(w + 1, 0) }
  (0...h).each do |y|
    (0...w).each do |x|
      s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]
    end
  end

  # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
  rects.map { |sy, sx, gy, gx| s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx] }.join("\n")
end

puts solve($stdin.read)

Python 問題を解く流れ

入出力例をコピペしてヒアドキュメントで変数に代入し、データを確認します。正しく受け取れていれば確認用コードは削除します。

INPUT1 = """\
5 5 3
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
1 1 3 3
2 2 4 4
0 0 2 2
"""
OUTPUT1 = """\
45
63
27
"""

INPUT2 = """\
8 3 1
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
3 1 8
8 1 3
1 3 8
0 0 7 2
"""
OUTPUT2 = """\
96
"""

# 確認用コード
print(repr(INPUT1))
print(repr(OUTPUT1))
print(repr(INPUT2))
print(repr(OUTPUT2))
# 実行結果
# > '5 5 3\n1 2 3 4 5\n2 3 4 5 6\n3 4 5 6 7\n4 5 6 7 8\n5 6 7 8 9\n1 1 3 3\n2 2 4 4\n0 0 2 2\n'
# > '45\n63\n27\n'
# > '8 3 1\n8 1 3\n1 3 8\n3 1 8\n8 1 3\n1 3 8\n3 1 8\n8 1 3\n1 3 8\n0 0 7 2\n'
# > '96\n'

続いて問題を解くメソッド（solveメソッドとします）を変数の下に定義します。

まず、入力データを受け取る処理を書きます。

def solve(input_str):
    # 入力
    input_lines = input_str.rstrip().split("\n")
    h, w, q = map(int, input_lines[0].split())
    a = []
    for l in input_lines[1:h+1]:
        a.append(list(map(int, l.split())))
    rects = []
    for l in input_lines[h+1:]:
        rects.append(list(map(int, l.split())))

    # 確認用コード
    return [h, w, q, a, rects]


# 確認用コード
print(solve(INPUT1))
print(solve(INPUT2))
# 実行結果
# > [5, 5, 3, [[1, 2, 3, 4, 5], [2, 3, 4, 5, 6], [3, 4, 5, 6, 7], [4, 5, 6, 7, 8], [5, 6, 7, 8, 9]], [[1, 1, 3, 3], [2, 2, 4, 4], [0, 0, 2, 2]]]
# > [8, 3, 1, [[8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8], [3, 1, 8], [8, 1, 3], [1, 3, 8]], [[0, 0, 7, 2]]]

データが正しく受け取れていれば、問題を解く処理を書いていきます。

二次元配列aの累積和sを求め、rects に格納されている sy, sx, gy, gx の情報から区間和を計算し、配列 results に格納します。

最後に、格納された区間和を改行で連結して返します。

def solve(input_str):
    # 入力
    input_lines = input_str.rstrip().split("\n")
    h, w, q = map(int, input_lines[0].split())
    a = []
    for l in input_lines[1:h+1]:
        a.append(list(map(int, l.split())))
    rects = []
    for l in input_lines[h+1:]:
        rects.append(list(map(int, l.split())))

    # 累積和
    s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
    for y in range(h):
        for x in range(w):
            s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

    # 長方形の区間和
    results = []
    for sy, sx, gy, gx in rects:
        results.append(s[gy + 1][gx + 1] - s[sy]
                       [gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx])

    # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
    return "\n".join(map(str, results))


# 確認用コード
print(repr(solve(INPUT1)))
print(repr(solve(INPUT2)))
# 実行結果
# > '45\n63\n27'
# > '96'

INPUT1、INPUT2共に正しく計算出来ていますので、sovleメソッド呼び出し部分を提出用に書き換え、手入力で最終確認を行います。

Python 解答コード

def solve(input_str):
    # 入力
    input_lines = input_str.rstrip().split("\n")
    h, w, q = map(int, input_lines[0].split())
    a = []
    for l in input_lines[1:h+1]:
        a.append(list(map(int, l.split())))
    rects = []
    for l in input_lines[h+1:]:
        rects.append(list(map(int, l.split())))

    # 累積和
    s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
    for y in range(h):
        for x in range(w):
            s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

    # 長方形の区間和
    results = []
    for sy, sx, gy, gx in rects:
        results.append(s[gy + 1][gx + 1] - s[sy]
                       [gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx])

    # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
    return "\n".join(map(str, results))


print(solve(open(0).read()))

Python 他の解答例

STEP1～6の解答例2に倣った書き方です。

def solve(input_str):
    # 入力
    input_lines = input_str.rstrip().split("\n")
    h, w, q = map(int, input_lines[0].split())
    a = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[1:h+1]]
    rects = [list(map(int, l.split())) for l in input_lines[-q:]]

    # 累積和
    s = [[0] * (w + 1) for _ in range(h + 1)]
    for y in range(h):
        for x in range(w):
            s[y + 1][x + 1] = a[y][x] + s[y][x + 1] + s[y + 1][x] - s[y][x]

    # 長方形の区間和を改行で連結した文字列を返す
    results = [
        s[gy + 1][gx + 1] - s[sy][gx + 1] - s[gy + 1][sx] + s[sy][sx] for sy, sx, gy, gx in rects
    ]
    return "\n".join(map(str, results))


print(solve(open(0).read()))

今回のまとめ

累積和を使って、二次元配列の任意の区間和を求めることが出来ました。

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本記事で使用しているアルゴリズムやメソッドについて

累積和メニュー5：【二次元累積和】

5-STEP1: 二次元累積和 1 (paizaランク C 相当)

Ruby解答例

Python解答例

5-STEP2: 二次元累積和 2 (paizaランク C 相当)

入出力例

Ruby解答例1

Ruby解答例2

Python解答例1

Python解答例2

5-STEP3: 二次元累積和 3 (paizaランク C 相当)

入出力例

Ruby解答例1

Ruby解答例2

Python解答例1

Python解答例2

5-STEP4: 二次元累積和 4 (paizaランク C 相当)

入出力例

Ruby解答例1

Ruby解答例2

Python解答例1

Python解答例2

5-STEP5: 二次元累積和 5 (paizaランク C 相当)

入出力例

Ruby解答例1

Ruby解答例2

Python解答例1

Python解答例2

5-STEP6: 【二次元累積和】 二次元累積和 6 (paizaランク C 相当)

入出力例

Ruby解答例1

Ruby解答例2

Python解答例1

Python解答例2

5-STEP7: 【二次元累積和】 二次元累積和 7 (paizaランク C 相当)

問題

攻略ポイント

Ruby 問題を解く流れ

Ruby 解答コード

Ruby 他の解答例

Python 問題を解く流れ

Python 解答コード

Python 他の解答例

今回のまとめ

【PR】アルゴリズム学習でお世話になった本

5-STEP6: 【二次元累積和】二次元累積和 6 (paizaランク C 相当)

5-STEP7: 【二次元累積和】二次元累積和 7 (paizaランク C 相当)